线性代数总结 第一章 行列式

1. 行列式的定义：一个数的平方加另外一个数的平方的和等于第三个数的二次方。
2. 行列式的性质：行列式的值在整数范围内；如果行列式为零，则该矩阵是奇异的。
3. 行列式的计算方法：根据加法消元法、减法消元法、三角化法等方法进行计算。
4. 行列式在实际中的应用：例如电路中电阻值的计算、工程质量评估等。
5. 行列式的性质在实际中的应用：例如在设计抗干扰设备时，可以通过行列式判断设备是否能够抵抗干扰。
6. 矩阵的基本概念：一个 m x n 的矩阵可以表示为一个 m 行 n 列的方阵，其中 m 和 n 分别代表矩阵中元素的个数。
7. 矩阵运算规律：加法、减法、乘法、数乘、逆矩阵等运算规律。
8. 矩阵的性质和定理：行列式的值等于零，正交矩阵的逆等于自身，迹等于模等性质和定理。
9. 矩阵的应用领域：如计算机科学、工程技术、统计学等。

A11是a11的代数余子式。
A11+A12+A13+A14相加行列式的第一行就全部变成1了，这是行列式性质。
定理就是行列式的值等于其中一行或一列元素与其对应的代数余子式的乘积的和。上面的即D=a11A11+a12A12+a13A13+a13A14,你这是一种特殊情况，即a11-a14都是1。
例如：
反过来看第一个行列式与原行列式只有第一行不同
所以如果按第一行展开就是1* A11+1*A12+1*A13+1*A14。这四个1就是根据A11，A12，A13，A14的系数写出来的，如果是求a*A11+b*A12+c*A13+d*A14，那就把第一行换成a,b,c,d。
扩展资料：
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
参考资料来源：百度百科-行列式

行列式的值等于某一行对应元素代数余子式之和。她和哪一行元素具体是多少没关系。我们化为1是为了好算。它还可以化成都是2、3、4.....

定理就是行列式的值等于其中一行或一列元素与其对应的代数余子式的乘积的和。你上面的即D=a11A11+a12A12+a13A13+a13A14,你这是一种特殊情况，即a11-a14都是1，明白了吗？

我们题D=3A11+(-5)A12+2A13+1A14而我们是求A11+A12+A13+A14相当于a11 a12 a13 a14 等于1 1 1 1下面三行不变求行列式的解。如果我们求2A11+3A12+A13+A14那相当于a11 a12 a13 a14 等于2 3 1 1下三行不变求行列式的解

A11是a11的代数余子式。
A11+A12+A13+A14相加行列式的第一行就全部变成1了，这是行列式性质。

线性代数总结，第一章行列式。
一、n阶排列及其逆序数、对换
1、n阶排列和自然排列：由自然数1,2，…n组成的任意一个n元有序数组称为一个n阶排列，其中12…n称为自然排列。
2、逆序、顺序和逆序数：在一个排列中，如果一个较大的数字排在一个较小的数字之前，则称这两个数字构成一个逆序，否则，称这两个数字构成一个顺序，在一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
计算方法：将数i与排在其前面的数构成的逆序数记为，例如，对于5阶排列35412。τ1=3（有三个比1大的数在1前面），τ2=3，τ3=0，τ4=1，τ5=0。所以逆序数=3+3+0+1+0=7。
3、奇排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列。
4、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列。
5、定理1：对换改变排列的奇偶性。
推论：排列经过奇数次对换其奇偶性发生改变，经过偶数次对换其奇偶性不变。
推论：当n≥2时，在n阶排列中，奇偶排列数目相等，即各有个。
二、n阶行列式的定义
1、n阶行列式定义：n阶行列式等于所有来自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。由于代数和的项数为n！个，为了表达方便，我们可以将每项中的n个元素按行指标由小到大的顺序排列，并规定此时列指标为偶排列时，此项前面带正号，列指标为奇排列时，前面带负号（后面举个例子）此时，n阶行列式可以表示为：
例子：对于乘积项，先按行指标从小排到大，即然后其列指标的逆序数为τ(4213)=4，是偶数，所以乘积项是偶数（笔算的话一般不用这个方法）。
2、主对角线：在行列式中，由左上角到右下角（\）所形成的斜线称为主对角线。
副对角线：由右上角到左下角（/）所形成的斜线称为副对角线。
上三角形行列式：在主对角线下方的元素全为0。
下三角形行列式：在主对角线上方的元素全为0。
三角形行列式：上三角形行列式和下三角形行列式统称三角形行列式。
对角行列式：除主对角线之外的元素全为零。
三、n阶行列式的性质和计算
1、性质：
（1）行与列互换，行列式的值不变。
记是行列式D行与列互换后的行列式，称是D的转置行列式。
（2）在行列式中，如果某一行（列）元素全为零，则该行列式的值为0。
（用行列式定义的计算公式易证）。
（3）交换任意两行（列）的位置，行列式的值变号。
（4）如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为0。
（5）行列式具有线性：
①可以整一行或者整一列提一个系数k出来。
②

（6）推论：如果行列式有两行（列）成比例，则行列式为0。
推论：行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变。
2、根据性质，引出以下记号：（行的英文：row，列的英文：column）。
四、行列式按一行展开及克拉默法则
1、按一行（列展开）：在n阶行列式中，去掉元素所在的第i行、第j列所剩下的个元素构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，通常记为Mij，余子式与符号项的乘积叫做元素的代数余子式，通常记为Aij。规定n=1时，Mij=Aij=1。
2、按一行（列）展开的行列式的定理：n阶行列式等于它的任意一行（列）的所有元素与各自的代数余子式（Aij）的乘积之和。
3、n阶范德蒙德行列式（注意行列都有n个）。
4、在n阶行列式中，某一行（列）元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积的和等于零，于是对于和，下面的等式成立。
5、克拉默法则：

6、定理：如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它只有零解（即x1、x2...全为0）（换句话说，如果其次线性方程组有非零解，那么系数行列式D=0）。
7、拉普拉斯展开定理：
（1）基础知识：设k是不大于n的正整数，在n阶行列式中，选定k行k列。
k阶子式M：位于这k行k列交点处的个元素按原来的次序组成一个k阶行列式M。
M的余子式N：若把选定的k行k列划去，则余下的个元素按原来的次序组成一个n-k阶行列式N。
M的代数余子式A：设选定的k行为第行，选定的k列为第列，此时称为M的代数余子式。
（2）拉普拉斯展开定理：
设k是小于n的正整数，在n阶行列式D中选定K行k列（注意！！此时有种取法），然后把每一种取法的k阶子式M和他们各自的代数余子式的乘积之和等于行列式D。