由条件得：
$ x = sqrt{3} - 1 $，代入 $ x^2 + ax + b = 0 $，
化简得：
$ (sqrt{3} - 1)^2 + a(sqrt{3} - 1) + b = 0 $
展开整理后，分离有理数与无理数部分，得：
有理数部分：$ 4 - 2a + b = 0 $
无理数部分：$ 2asqrt{3} = 0 $
解得：
$ a = -2 $, $ b = -8 $
则 $ a^b = (-2)^{-8} = frac{1}{256} $，
其算术平方根为 $ frac{1}{16} $。
$frac{1}{16}$
$ x = sqrt{3} - 1 $，代入 $ x^2 + ax + b = 0 $，
化简得：
$ (sqrt{3} - 1)^2 + a(sqrt{3} - 1) + b = 0 $
展开整理后，分离有理数与无理数部分，得：
有理数部分：$ 4 - 2a + b = 0 $
无理数部分：$ 2asqrt{3} = 0 $
解得：
$ a = -2 $, $ b = -8 $
则 $ a^b = (-2)^{-8} = frac{1}{256} $，
其算术平方根为 $ frac{1}{16} $。
$frac{1}{16}$