由题意，设f(x)=x?+ax+b，方程两根分别在(0,1)和(1,3)内。根据实系数二次方程根的分布，需满足：f(0)>0，f(1)<0，f(3)>0，且判别式Δ=a??4b>0。解得a、b满足约束条件，点(a,b)位于对应平面区域。
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从反方面着手 假设全部方程都没有实数根，则 x^2+4ax-4a+3=0, △=(4a)^2-4(-4a+3)<0 4a^2+4a-3<0 ,得-3/2<1/2 x^2+(a-1)x+a^2=0, △=(a-1)^2-4a^2<0 3a^2+2a-1>0 ,得a>1/3或a<-1 x^2+2ax-2a=0, △=(2a)^2-4(-2a)<0 a^2+2a<0 ,得-2<0 所有取交集得-3/2<-1 所以3个关于x的方程,x^2+4ax-4a+3=0,x^2+(a-1)x+a^2=0,x^2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根， a的取值范围为a≥-1或a≤-3/2
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1)3b+6c=0,要求的方程是bx+c=0,也就是6bx+6c=0,所以与已知等式3b+6c=0对比,有6x=3,所以x=1/2; (2)设f(x)=ax2+bx+c,f(1/2)=a/4+b /2+c=a/3+b /2+c-a/12,又a/3+b /2+c=0 又由于a>0,所以f(1/2)＜0, f(0)=c,如果c>0,有一根在0和1/2之间,显然成立 现考虑c≤0,不难算出f(2/3)=-c/3于是f (2/3)≥0显然有一根在1/2和2/3之间.
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显然一元三次方程除了这相同两根还有另外一根，
即x?+bx?+ax+c必然可因式分解为(mx+n)(ax?+bx+c)=max?+(mb+na)x?+(mc+nb)x+nc
不同次幂系数相等
x?系数1=ma故m=1/a
常数项相同c=nc故n=1
故x?系数b=mb+na=b/a+a，ab=b+a?，(a-1)b=a?
x系数a=mc+nb=c/a+b，a?=c+ab=c+b+a?
故c=-b，b=a?/(a-1)=a+1+1/(a-1)
两相异实根，故二次项系数a≠0，
abc为非零整数，故a只能=2否则b非整数 -
解：设f(x)=x?+ax+b由函数图象可以知道：f(0)>0,f(1)<0,f(3)>0三者同时成立，求解得 b>0 a+b+1<0 3a+b+9>0 由线性规划的知识画出可行域： 以a为横轴，b纵轴，再以z=2a-b为目标， 当a=-1,b=0时，zmax=-2 当a=-4,b=3时，zmin=-11 由题目，不能取边界，知道z∈（-11,-2）