半径为4r的定圆和半径为r的动圆内切，动圆沿定圆无滑动滚动时，求动圆上肯定点M的轨迹参数方程。-PChome电脑之家

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半径为4r的定圆和半径为r的动圆内切，动圆沿定圆无滑动滚动时，求动圆上肯定点M的轨迹参数方程。

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方程为x=3cosθ+cos3θ
y=3sinθ-sin3θ
只要先求C点轨迹参数方程，x=3cosθ，y=3sinθ ，为圆
再求M点与C点的关系，画图就发现，横纵坐标正好成4θ-θ的关系，即3θ关系，加上半径为1，所以代入圆C方程得
方程为x=3cosθ+cos3θ
y=3sinθ-sin3θ
wsdywr

定圆半径是4r，动圆半径是r，而M是动圆上的一个固定点。由于是内切无滑动滚动，说明动圆除了自转还会绕着定圆中心公转。我们可以设定某一个参考角度θ为参数，比如以动圆中心偏离水平轴的角度为准。这样动圆中心的坐标可以表示为(4r-r)(cosθ,sinθ)，而在这个基础上，定点M相对于动圆中心也是在做半径为r的圆周运动，只不过方向要相反，因为动圆自身也在转动。综合起来，参数方程应该是x=(3rcosθ)+rcos(3θ)，y=(3rsinθ)-rsin(3θ)，其中系数3来自大小圆半径差与动圆半径的比例
lunaticway

x=(4r-r)cosθ+rcos((4r-r)/r*θ)，y=(4r-r)sinθ-rsin((4r-r)/r*θ)，再化简就是x=3rcosθ+rcos(3θ)，y=3rsinθ-rsin(3θ)。不过我是不是哪里搞错了符号？毕竟方向可能影响正负号
mplovehc

1的比例。这样的话，动圆绕一圈的时候，那个点M画出来的轨迹应该是一个有四个尖角的曲线，形状像一颗星星。参数方程的话应该跟角度有关，可能需要用三角函数来表示x和y坐标，还要考虑滚动的角度和旋转造成的位置变化
YT1992624

一个是动圆沿定圆内壁滚动引起的转动，一个是随着接触点改变带来的整体旋转。假设滚动过程中没有滑动，说明两圆在接触点处的线速度相同。设定点M初始位置在动圆最右侧，然后我们可以用参数θ来代表动圆中心相对于定圆中心的角度偏移。这时候M点坐标的计算需要考虑动圆中心的位置加上M相对于动圆中心的坐标，这里面可能会涉及三角函数的叠加，特别是因为小圆每走一段弧长就必须相应转过对应的角度，这样才能确保无滑动滚动条件成立

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