设二次函数为 $ f(x) = ax^2 + bx + c $。
由对称轴为 $ x = 1 $，得 $ -frac{b}{2a} = 1 $，即 $ b = -2a $。
又过点 $ (1,1) $，代入得 $ a(1)^2 + b(1) + c = 1 $，即 $ a - 2a + c = 1 $，得 $ c = a + 1 $。
设图像与 $ x $ 轴交于 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ |x_1 - x_2| = 3 $，
由根与系数关系得 $ x_1 + x_2 = -frac{b}{a} = 2 $，$ x_1 x_2 = frac{c}{a} = frac{a+1}{a} $。
设 $ x_1 = 1 - frac{3}{2} $，$ x_2 = 1 + frac{3}{2} $，即 $ x_1 = -frac{1}{2} $、$ x_2 = frac{5}{2} $，
则 $ x_1 x_2 = -frac{5}{4} = frac{a+1}{a} $，解得 $ a = -frac{4}{9} $。
代入得 $ b = frac{8}{9} $，$ c = frac{5}{9} $。
故解析式为：
$$
f(x) = -frac{4}{9}x^2 + frac{8}{9}x + frac{5}{9}
$$
由对称轴为 $ x = 1 $，得 $ -frac{b}{2a} = 1 $，即 $ b = -2a $。
又过点 $ (1,1) $，代入得 $ a(1)^2 + b(1) + c = 1 $，即 $ a - 2a + c = 1 $，得 $ c = a + 1 $。
设图像与 $ x $ 轴交于 $ x_1 $、$ x_2 $，则 $ |x_1 - x_2| = 3 $，
由根与系数关系得 $ x_1 + x_2 = -frac{b}{a} = 2 $，$ x_1 x_2 = frac{c}{a} = frac{a+1}{a} $。
设 $ x_1 = 1 - frac{3}{2} $，$ x_2 = 1 + frac{3}{2} $，即 $ x_1 = -frac{1}{2} $、$ x_2 = frac{5}{2} $，
则 $ x_1 x_2 = -frac{5}{4} = frac{a+1}{a} $，解得 $ a = -frac{4}{9} $。
代入得 $ b = frac{8}{9} $，$ c = frac{5}{9} $。
故解析式为：
$$
f(x) = -frac{4}{9}x^2 + frac{8}{9}x + frac{5}{9}
$$