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在平行四边形abcd中，ab=20，ad=30，角2113abc=60，点5261q从b出发沿4102ba向a移动，速度为2cm/s，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，当P停止运1653动时，点Q也随之停止运动，过点P做PM⊥AD交AD于点M，连接PQ、QM，设运动的时间为t s（0＜t≤6）
（1）当PQ⊥PM时，求t的值
（2）设△PQM的面积为y（cm?），求y于t之间的函数关系式
（3）是否存在某一时刻使得△PQM的面积最大？若存在，求出此时t的值，并求出最大面积，若不存在，请说明理由
（4)过点M作MN//AB交BC于点N，连接点N
，是否存在某一时刻使得PM=PN，求出此时t的值，若不存在，请说明理由
解：（1）当PQ//AD，因为AQ//PD，
所以四边形AQPD是平行四边形，
所以AQ=PD，
所以20-2t=3t，
解得，t=4，
即当t=4时，PQ//AD。
（2）因为BQ=2t，PD=3t，所以AQ=20-2t，
因为∠ABC=60°，所以∠D=60°
因为PM⊥AD，所以∠PMD=30°，
所以MD=1/2PD=3/2t，MP=3√3/2t
过Q点作QE⊥AD交DA的延长线于点E，过C点作CD⊥AB交AB于点D，
因为∠ABC=60°，所以∠QAE=60°，
所以QE=AQ/sin60°=√3/3（40-4t），CF=BC/sin60°=15√3，
因为S△PQM=S梯形AQOD-S△AQM-S△PMD，
即y=1/2×（AQ+PD）×CF-1/2×AM×QE-1/2×MD×MP=1/2×（20-2x+3x）×15√3-1/2×（30-3/2x）×√3/3（40-4t）-1/2×3/2t×3√3/2t
化简得，y=-15√3t?/8+105√3t/4
因为2t≤20，3t≤20，所以t≤20/3。
所以y与t的函数关系式为y=-15√3t?/8+105√3t/4（0＜t≤20/3）。 -
原题如下：
在平2113行四边形abcd中，5261ab=20，ad=30，角abc=60，点4102q从b出发沿1653ba向a移动，速度为2cm/s，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，当P停止运动时，点Q也随之停止运动，过点P做PM⊥AD交AD于点M，连接PQ、QM，设运动的时间为t s（0＜t≤6）
（1）当PQ⊥PM时，求t的值
（2）设△PQM的面积为y（cm²），求y于t之间的函数关系式
（3）是否存在某一时刻使得△PQM的面积最大？若存在，求出此时t的值，并求出最大面积，若不存在，请说明理由
（4)过点M作MN//AB交BC于点N，连接点N，是否存在某一时刻使得PM=PN，求出此时t的值，若不存在，请说明理由
解：（1）当PQ//AD，因为AQ//PD，
所以四边形AQPD是平行四边形，
所以AQ=PD，
所以20-2t=3t，
解得，t=4，
即当t=4时，PQ//AD。
（2）因为BQ=2t，PD=3t，所以AQ=20-2t，
因为∠ABC=60°，所以∠D=60°
因为PM⊥AD，所以∠PMD=30°，
所以MD=1/2PD=3/2t，MP=3√3/2t
过Q点作QE⊥AD交DA的延长线于点E，过C点作CD⊥AB交AB于点D，
因为∠ABC=60°，所以∠QAE=60°，
所以QE=AQ/sin60°=√3/3（40-4t），CF=BC/sin60°=15√3，
因为S△PQM=S梯形AQOD-S△AQM-S△PMD，
即y=1/2×（AQ+PD）×CF-1/2×AM×QE-1/2×MD×MP=1/2×（20-2x+3x）×15√3-1/2×（30-3/2x）×√3/3（40-4t）-1/2×3/2t×3√3/2t
化简得，y=-15√3t²/8+105√3t/4
因为2t≤20，3t≤20，所以t≤20/3。
所以y与t的函数关系式为y=-15√3t²/8+105√3t/4（0＜t≤20/3）。
(3)S△MPQ关于时间t的关系式是：S△MPQ=0.5×2×sin60°t×（30×sin60°-5×cos60°t）=22.5t-t²√3/4【0≤t≤20/3】,在0≤t≤20/3内单边递增，所以S△MPQ最大值为150-100√3/4【t=20/3】
(4)MP=3tsin60°=1.5t√3,NP=√[100+（10√3-1.5t√3）²]，
MP=NP，6.75t²=100+3（10-1.5t）²，t=40/9≤20/3,所以t=40/9符合题意存在该时刻满足MP=NP。 -
首先：PB= 1×t = t , CQ = 1×t= t , BQ = 12- t .
过P作PH⊥BC，H为垂足。
∵∠B=30°，PH⊥BC
∴ PH= PB的一半即 t / 2 。
∴ S△PBQ = （12-t ）×t/2 ÷2 = - 3/4t? + 3t 。是二次函数。
注意：还有一种情况： P到了AD上（t ＞4时）。
此时 △PBQ 的高就是梯形的高2.（ 梯形的高你另外算：过A画高h，则h=AB的一半）
那么，此时 S△PBQ =（12-t ）×2 ÷2 = 12-t 。 是一次函数。
（2）在整个运动过程中，存在某一时刻t，A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形！
A、B、Q、P四点恰好构成一个平行四边形，则有：AP=BQ .
则 t-4 = 12-t
则 t=8
.（ 梯形的高你另外算：过A画高h，∵∠B=30°，当然 h=AB的一半=4的一半=2）
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解：设，x秒后pq∥bc，依题意有4x/20=(30-3x)/30.,即x/5=（10-x)/10.,化简得2x=10-x.解得x=10/3秒，2,当s△bcq/s△abc=1/3时，cq=1/3ac=10，，此时q由c出发运动10/3秒，pq∥bc，△apq∽△abc，s△apq/s△abc=（aq/ac）?=（2/3）?=4/9.
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