Rt △ABC的直角边AC,BC为边,在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF,连结BE,AF.-PChome电脑之家

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Rt △ABC的直角边AC,BC为边,在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF,连结BE,AF.

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ybd487

∵△ACE,△BCF都是等边三角形, ∴AC=EC,BC=FC,ACE=BCF=60°, ∴∠ACE+∠ACB=∠BCF+∠ACB, ∴△ACB≌△ECF, ∴BE=AF.
liunianma

我觉得可以从向量的角度来思考这个问题，比纯几何更直接。假设点C为坐标原点(0,0)，点A在x轴上为(a,0)，点B在y轴上为(0,b)，那么AC=a，BC=b。接着构造等边三角形△ACE，由于是在Rt△ABC外侧，E点的位置可以通过将向量AC旋转-60度（即顺时针60度）得到，同理F点由向量BC旋转60度获得。利用向量旋转公式计算出E和F的坐标后，再求出向量BE和AF，进而计算它们的长度和夹角。结果往往会发现|BE|=|AF|，也就是说这两条线段相等，这是这类题常见的结论，背后体现了几何变换中的对称美
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这题看着有点复杂其实思路还挺清晰的，首先Rt△ABC是直角三角形，直角在C点，所以AC和BC是两条直角边。然后以这两条边为边向外作等边三角形，也就是说△ACE和△BCF都是等边的，每个角都是60度，边长分别等于AC和BC。接下来连接BE和AF，这时候你可以考虑用全等三角形或者旋转的思想来分析这两个线段的关系，比如可以尝试证明△ACF和△ECB全等，利用SAS判定，因为AC=EC，BC=FC，夹角之间可能存在60度加直角的转化关系，从而得出BE=AF
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这种几何题我见得多了，属于典型的构造等边三角形+连线探究性质的类型。核心思想往往是利用旋转对称性。比如把整个△ACF绕着点C顺时针旋转60度，可能会和另一个图形重合，因为等边三角形本身就具有旋转60度不变的特性。具体来说，由于△ACE是等边的，那么把CA旋转60度就能得到CE；同理，CB旋转60度得CF。这样AF这条线段经过相应的旋转变换后可能刚好对应到BE，说明AF和BE不仅长度相等，而且它们之间的夹角可能是60度或者别的特殊角度，这取决于旋转方向和角度，值得深入推导一下
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C是直角顶点，AC和BC是直角边，然后以它们为边往外做等边三角形，注意方向不能错，必须是在三角形外部。比如从AC出发，逆时针或顺时针构造等边△ACE，同理对BC构造△BCF。连结BE和AF之后，通常这种题会问它们是否相等或者夹角多少，虽然题目没说完，但大概率是要研究BE和AF的数量或位置关系。可以通过坐标法来解，设C在原点，A在x轴，B在y轴，再算出E和F的坐标，最后用距离公式验证BE和AF是否相等

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